Regra de Três Composta: Como Saber Quando a Grandeza é Inversa

Na regra de três composta, a parte mecânica é fácil: monte as razões, multiplique, divida. A parte que derruba gente em prova é anterior a isso — decidir, para cada grandeza, se ela é direta ou inversa em relação ao que você quer descobrir.

E é uma decisão que a conta não protege. Marcar errado não gera divisão por zero nem número impossível: gera um resultado plausível, com as mesmas casas decimais, que simplesmente responde a outra pergunta. Este guia mostra o método que elimina o chute, com quatro problemas resolvidos. Para conferir a montagem enquanto estuda, a Calculadora de Regra de Três exibe cada razão separada na tela.

O método da comparação um a um

A regra que resolve o problema inteiro cabe em uma frase: compare a grandeza procurada com cada uma das outras, uma de cada vez, esquecendo temporariamente todas as demais.

Isso importa porque a intuição tende a olhar o problema inteiro de uma vez — e aí se perde. Ao isolar duas grandezas por vez, a pergunta fica simples:

Mantendo tudo o mais igual, se essa grandeza aumentar, o resultado aumenta ou diminui?

Aumenta junto → direta. Diminui → inversa. Depois é só montar:

• Grandeza direta: a razão mantém a ordem, situação 1 ÷ situação 2.
• Grandeza inversa: os termos trocam de lugar, situação 2 ÷ situação 1.

E a fórmula final:

X = valor conhecido ÷ (razão 1 × razão 2 × …)

Problema 1: tudo direto

4 pessoas fazem 8 bolos em 2 dias. Quantos bolos 6 pessoas fazem em 3 dias?

Grandeza procurada: bolos.

• Pessoas × bolos: mais gente, mais bolos → direta → razão 4 ÷ 6
• Dias × bolos: mais dias, mais bolos → direta → razão 2 ÷ 3

X = 8 ÷ (4/6 × 2/3) = 8 ÷ 0,4444 = **18 bolos**

Problema 2: uma grandeza inversa

6 máquinas produzem 1.200 peças em 8 dias. Em quantos dias 4 máquinas produzem 1.800 peças?

Agora a grandeza procurada é dias — e é aqui que muita gente escorrega, porque o "tempo" costuma ser a grandeza inversa.

• Máquinas × dias: menos máquinas exigem mais dias → inversa → razão 4 ÷ 6 (termos trocados)
• Peças × dias: mais peças exigem mais dias → direta → razão 1200 ÷ 1800

X = 8 ÷ (4/6 × 2/3) = 8 ÷ 0,4444 = **18 dias**

Vale conferir por outro caminho, para não validar a fórmula com ela mesma: 6 máquinas × 8 dias = 48 máquinas-dia produzem 1.200 peças, ou 25 peças por máquina-dia. Para 1.800 peças são necessários 72 máquinas-dia, e com 4 máquinas isso dá 72 ÷ 4 = 18 dias. Bate.

Problema 3: duas inversas

8 operários, trabalhando 6 horas por dia, terminam um serviço em 10 dias. Em quantos dias 12 operários, trabalhando 8 horas por dia, terminam o mesmo serviço?

Grandeza procurada: dias.

• Operários × dias: mais gente, menos dias → inversa → razão 12 ÷ 8
• Horas por dia × dias: jornada maior, menos dias → inversa → razão 8 ÷ 6

X = 10 ÷ (1,5 × 1,3333) = 10 ÷ 2 = **5 dias**

Faz sentido: 50% mais gente trabalhando 33% mais horas por dia dobra a capacidade diária, e o serviço cai pela metade.

Problema 4: quando o enunciado engana

Uma torneira enche um tanque de 500 litros em 20 minutos. Em quanto tempo 3 torneiras iguais enchem um tanque de 1.500 litros?

Grandeza procurada: minutos.

• Torneiras × minutos: mais torneiras, menos tempo → inversa → razão 3 ÷ 1
• Litros × minutos: mais litros, mais tempo → direta → razão 500 ÷ 1500

X = 20 ÷ (3 × 0,3333) = 20 ÷ 1 = **20 minutos**

O resultado igual ao de partida não é coincidência nem erro: triplicar a vazão e triplicar o volume se cancelam exatamente. Quando as razões se anulam, o tempo não muda — e é um bom sinal de que a marcação está certa, porque a marcação errada quebraria essa simetria.

O teste de sanidade que pega o erro

Depois de calcular, faça uma checagem de direção, sem refazer a conta:

1. Escolha uma grandeza e pergunte o que a mudança dela, sozinha, deveria provocar.
2. Veja se o resultado foi na direção certa.

No problema 2: passamos de 6 para 4 máquinas. Menos máquinas, mais dias. Partimos de 8 dias e chegamos a 18 — subiu, como esperado. Se a marcação de "máquinas" estivesse invertida, o resultado seria 8 dias exatos, ou seja, mais peças com menos máquinas no mesmo tempo. Impossível, e detectável em cinco segundos.

Esse teste custa pouco e pega os dois erros mais comuns de composta: a marcação invertida e a troca de situação 1 com situação 2.

Quando a regra de três composta não serve

Vale lembrar o limite do método, que vale igual para simples e composta: ele só descreve a realidade quando as grandezas são de fato proporcionais. Dobrar o número de operários raramente dobra a produção real — há coordenação, espaço físico, ferramentas compartilhadas. Em problema de prova a proporcionalidade é uma premissa dada; em planejamento de verdade, ela é uma aproximação.

O mesmo cuidado se aplica a grandezas que têm uma parte fixa. Se um serviço tem duas horas de preparação que não mudam com o número de pessoas, a proporção só vale para o resto — e a conta inteira precisa ser feita sobre a parcela variável.

Confira a montagem na calculadora

A Calculadora de Regra de Três aceita três grandezas, pede o tipo de cada uma e mostra a razão de cada grandeza separadamente, o produto e o isolamento do X — que é exatamente o que um professor pede para ver. Para a montagem da regra de três simples e os erros que ela esconde, veja o guia de regra de três passo a passo; e se a sua proporção envolve percentuais, a Calculadora de Porcentagens resolve direto.

Monte a sua aqui: Calculadora de Regra de Três.